Problems & Puzzles: Conjectures Conjecture 81.  For all primes p, there is at least one k | that p^k = p&y&p? Remember that Jeff Heleen sent the following solution for our Puzzle 933: 7499^9 = 74994632695013731827926060475067499 Then, I asked for more solutions as this one, in our Puzzle 934. While solving the Puzzle 934 (that is a follow-up from Puzzle 933, and this is a follow-up from Puzzle 337), Paolo Lava wrote: "It appears that any prime p has at least one exponent k>1 such that p^k starts and ends in p." (Paolo Lava) As a matter of fact, Paolo computed and sent these first exponents k for the first 100 primes: n p(n) First k 1    2    21 2    3    41 3    5    24 4    7    33 5    11    171 6    13    361 7    17    461 8    19    471 9    23    1281 10    29    1091 11    31    231 12    37    221 13    41    236 14    43    61 15    47    861 16    53    2761 17    59    241 18    61    546 19    67    3261 20    71    1991 21    73    6081 22    79    421 23    83    9541 24    89    5731 25    97    4461 26    101    1621 27    103    21501 28    107    10381 29    109    5051 30    113    1301 31    127    16301 32    131    30051 33    137    18601 34    139    13601 35    149    3171 36    151    8991 37    157    7561 38    163    3201 39   167    33501 40   173    8701 41    179    17351 42    181    5601 43    191    13551 44    193    901 45    197    10301 46    199    871 47    211    65151 48    223    70201 49    227    7801 50    229    12151 51    233   ??? 52    239    37451 53    241    5951 54    251    609 55    257    8961 56    263   ??? 57    269    6051 58    271    14651 59    277    98801 60    281    16426 61    283    51501 62    293    1661 63    307    1245 64    311    49451 65    313    39501 66    317    55701 67    331    23251 68    337    30801 69    347    51601 70    349    8991 71    353   ??? 72    359    2651 73    367   ??? 74    373   ??? 75    379    24251 76    383    32201 77    389    29751 78    397    ??? 79    401    8906 80    409    ??? 81    419    13551 82    421    ??? 83    431    ??? 84    433    ??? 85    439    10551 86    443    7453 87    449    6011 88    457    ??? 89    461    ??? 90    463    ??? 91    467    ??? 92    479    ??? 93    487    25901 94    491    ??? 95    499    1475 96    503    ??? 97    509    ??? 98    521    ??? 99    523    ??? 100    541 ???   For instance, k value for n=51 p=233 is greater than 125861 and for n=56 p=263 is greater than 125289, if they exist. Accordingly, the Paolo's conjecture can be reworded like this: "For each prime p there is at least on exponent k such that p^k starts and ends in p" Q1.Can you compute the absent k values in the table above? Q2. Can you prove the conjecture or send a counterexample (or at least your smallest "hard cases")? Q3. Is this conjecture valid for any positive integer, not necessarily prime numbers? Some of the contributors for the Puzzle 934 -Fred Schneider, Paolo Lava and Simon Cavegn- observed that for many primes p the several exponents k that satisfies p^k = p&y&p for a given p, are not all at random but some of them follow modular expressions. See the pertinent data in Puzzle 934. Q4. Can you explain this last feature? Contributions came from Simon Cavegn, Fred Schneider, Paolo Lava, Robert Israel, Maximiliam F. Hasler and Emmanuel Vantighem. *** Simon wrote on Dec 7, 2018: The conjecture can probably be: "For each prime p there are infinitely many exponent k such that p^k starts and ends in p" For example I picked a prime p and looked at some k for it: 1: 1091^650501 2: 1091^2505001 3: 1091^4359501 4: 1091^6214001 5: 1091^8068501 ... 796: 1091^1001156001 797: 1091^1001806501 798: 1091^1003661001 799: 1091^1005515501 800: 1091^1007370001 801: 1091^1009224501 802: 1091^1011079001 ...     Q2: I cannot find a counterexample for prime p.   Q3: The first obvious non-prime counterexample is p = 10. Here are all non-prime p < 100 (potential) counterexamples. They have no solution for k < 100000000 10,14,15,18,20,22,26,30,34,35,38,40,42,45,46,50,54,55,58,60,62,65,66,70,74,78,80,82,85,86,90,94,95,98   Q1: All k for all primes < 10000 Would be great if someone could double check the largest k: 6983^2867748501 (Because with larger k, rounding errors might appear in my fast algorithm.)   2    21 3    41 5    24 7    33 11    171 13    361 17    461 19    471 23    1281 29    1091 31    231 37    221 41    236 43    61 47    861 53    2761 59    241 61    546 67    3261 71    1991 73    6081 79    421 83    9541 89    5731 97    4461 101    1621 103    21501 107    10381 109    5051 113    1301 127    16301 131    30051 137    18601 139    13601 149    3171 151    8991 157    7561 163    3201 167    33501 173    8701 179    17351 181    5601 191    13551 193    901 197    10301 199    871 211    65151 223    70201 227    7801 229    12151 233    138801 239    37451 241    5951 251    609 257    8961 263    768301 269    6051 271    14651 277    98801 281    16426 283    51501 293    1661 307    1245 311    49451 313    39501 317    55701 331    23251 337    30801 347    51601 349    8991 353    108301 359    2651 367    109301 373    193701 379    24251 383    32201 389    29751 397    46301 401    8906 409    41201 419    13551 421    78701 431    62651 433    57801 439    10551 443    7453 449    6011 457    1766101 461    119701 463    56801 467    174201 479    53651 487    25901 491    33751 499    1475 503    91201 509    104351 521    282076 523    59401 541    438501 547    63101 557    4585 563    208501 569    57901 571    16351 577    89301 587    105001 593    38041 599    12981 601    5776 607    53001 613    101201 617    206901 619    27801 631    102201 641    32226 643    14981 647    18801 653    97901 659    79851 661    89351 673    185901 677    135901 683    88901 691    78551 701    23121 709    120701 719    56251 727    18901 733    52901 739    115451 743    10721 751    1955 757    32961 761    6501 769    1351 773    39001 787    55401 797    1699901 809    128201 811    110301 821    144251 823    121301 827    226901 829    270501 839    47051 853    582701 857    40661 859    292501 863    203801 877    245701 881    83001 883    45801 887    269701 907    15381 911    1108751 919    9351 929    496401 937    189701 941    104051 947    226301 953    91501 967    68001 971    120651 977    180201 983    65401 991    8151 997    175501 1009    36751 1013    1334001 1019    321501 1021    3302001 1031    1651751 1033    9798501 1039    472751 1049    79951 1051    44301 1061    4813501 1063    2901001 1069    2444501 1087    1381001 1091    650501 1093    260901 1097    14741501 1103    1049501 1109    2797501 1117    3742501 1123    39501 1129    635501 1151    4651 1153    4698501 1163    69001 1171    373501 1181    1220501 1187    974001 1193    7621 1201    115976 1213    2148001 1217    631501 1223    540501 1229    544501 1231    1373751 1237    1214501 1249    5179 1259    1010501 1277    1131501 1279    266501 1283    626501 1289    792751 1291    1288001 1297    833001 1301    288501 1303    962501 1307    40061 1319    396251 1321    789751 1327    352501 1361    54626 1367    1127501 1373    689001 1381    743501 1399    77351 1409    1457751 1423    449001 1427    3262001 1429    1101501 1433    426501 1439    485251 1447    9207501 1451    223701 1453    1457001 1459    1790501 1471    978501 1481    558501 1483    921001 1487    1714001 1489    669501 1493    197301 1499    73601 1511    121001 1523    1033001 1531    5179501 1543    373301 1549    38901 1553    1583501 1559    2480751 1567    1116001 1571    2162501 1579    5540001 1583    6340001 1597    1607001 1601    123426 1607    63001 1609    455001 1613    1821501 1619    952001 1621    1124501 1627    4844501 1637    9408501 1657    178601 1663    5522001 1667    279501 1669    2055501 1693    7685 1697    1889001 1699    341301 1709    2409501 1721    287501 1723    2289001 1733    139001 1741    320128001 1747    1867501 1753    188001 1759    765501 1777    3893501 1783    2289501 1787    4608501 1789    396501 1801    122151 1811    3200501 1823    75001 1831    999501 1847    2915001 1861    930501 1867    2151501 1871    1097751 1873    5115501 1877    23168501 1879    867251 1889    1375251 1901    816401 1907    94101 1913    29853001 1931    519001 1933    2411001 1949    255101 1951    328451 1973    1648501 1979    1646501 1987    2203501 1993    2829301 1997    1896501 1999    75051 2003    758501 2011    2692501 2017    8501 2027    1894001 2029    5999001 2039    484751 2053    2298501 2063    12305001 2069    1549001 2081    1597876 2083    2595501 2087    245001 2089    4272251 2099    852201 2111    1423501 2113    5467501 2129    472501 2131    2507501 2137    6921501 2141    60001 2143    347301 2153    6779501 2161    616251 2179    2126501 2203    34501 2207    1251601 2213    134501 2221    1318001 2237    2197501 2239    684001 2243    20501 2251    95981 2267    3996501 2269    1577001 2273    5493501 2281    2410501 2287    3518501 2293    9901 2297    1748501 2309    2741001 2311    914751 2333    1923501 2339    744501 2341    2688001 2347    95501 2351    166451 2357    354301 2371    6107001 2377    3324001 2381    1157501 2383    2741001 2389    2031001 2393    2287901 2399    1950551 2411    3620501 2417    1946501 2423    124501 2437    1682001 2441    3317751 2447    550501 2459    2623501 2467    1040501 2473    3989001 2477    459501 2503    4131501 2521    1613001 2531    2177001 2539    840501 2543    56301 2549    3475601 2551    289251 2557    92101 2579    4824501 2591    1384751 2593    468901 2609    1499751 2617    295501 2621    1599501 2633    1133358501 2647    3235001 2657    800401 2659    2309501 2663    2070501 2671    646251 2677    3944501 2683    2022001 2687    233501 2689    956751 2693    24541 2699    305101 2707    638601 2711    1445751 2713    363501 2719    195501 2729    848501 2731    2564501 2741    2462501 2749    158981 2753    402501 2767    1201001 2777    3225501 2789    723501 2791    489251 2797    4121501 2801    218376 2803    5914001 2819    2934501 2833    16494001 2837    195501 2843    121001 2851    1617101 2857    158201 2861    56001 2879    1147251 2887    427501 2897    1611501 2903    3576001 2909    975501 2917    904501 2927    2332501 2939    3382001 2953    455501 2957    653101 2963    436001 2969    608001 2971    2866001 2999    33141 3001    67521 3011    2124501 3019    2345001 3023    917501 3037    2558501 3041    616626 3049    139751 3061    1778001 3067    700501 3079    361251 3083    1567501 3089    332251 3109    1066501 3119    69041751 3121    337001 3137    981501 3163    3155501 3167    1200501 3169    826251 3181    2780001 3187    2743001 3191    970001 3203    7310501 3209    680251 3217    36290001 3221    3773501 3229    580501 3251    21221 3253    1644001 3257    2169101 3259    3651001 3271    2426001 3299    391301 3301    640101 3307    16261 3313    989001 3319    620501 3323    4556501 3329    422251 3331    1293001 3343    354901 3347    2586501 3359    654751 3361    1742751 3371    3270501 3373    2509001 3389    23935001 3391    1969251 3407    1609101 3413    2109501 3433    5254501 3449    1865351 3457    338301 3461    3251501 3463    3983501 3467    56414501 3469    4302501 3491    3968001 3499    612941 3511    3258251 3517    5685501 3527    2491001 3529    1349251 3533    4302501 3539    4123501 3541    67501 3547    9516501 3557    203901 3559    1995501 3571    3704501 3581    1620001 3583    12062001 3593    884701 3607    391401 3613    257501 3617    318501 3623    8436501 3631    4228751 3637    1287501 3643    74701 3659    3038001 3671    832501 3673    4276501 3677    2158501 3691    1683501 3697    910001 3701    865601 3709    2030501 3719    4805501 3727    8365501 3733    3069501 3739    19418501 3761    300001 3767    8904501 3769    6115751 3779    1354501 3793    2605301 3797    2411501 3803    4385501 3821    570501 3823    3490001 3833    1075501 3847    8196501 3851    129901 3853    3229001 3863    4197001 3877    4703501 3881    1645751 3889    1283501 3907    544101 3911    2651001 3917    280001 3919    1803001 3923    104576501 3929    852751 3931    3367501 3943    12701 3947    3335501 3967    813501 3989    9035501 4001    87156 4003    2012501 4007    1292501 4013    4385501 4019    491501 4021    3379501 4027    2313501 4049    219251 4051    827401 4057    170141 4073    2068001 4079    1201001 4091    5254501 4093    2352401 4099    1913801 4111    4007751 4127    5709501 4129    1482751 4133    1955501 4139    4198001 4153    8316501 4157    736901 4159    10063501 4177    4578501 4201    1007851 4211    13700501 4217    2777001 4219    24293001 4229    38551001 4231    743751 4241    269876 4243    83801 4253    1613501 4259    2945001 4261    8561501 4271    921501 4273    6810001 4283    1103501 4289    1449251 4297    12059001 4327    10385501 4337    2552501 4339    3758501 4349    1242401 4357    9803801 4363    14391001 4373    8858501 4391    2851251 4397    2246501 4409    455751 4421    621501 4423    9259501 4441    1228751 4447    6122501 4451    721601 4457    1184501 4463    5995501 4481    556751 4483    8976001 4493    116701 4507    1335801 4513    7601001 4517    7454501 4519    803001 4523    2448501 4547    52678501 4549    13530301 4561    588876 4567    197087501 4583    5428501 4591    35617501 4597    4206501 4603    3282501 4621    5844001 4637    881501 4639    1165251 4643    881201 4649    634551 4651    95668901 4657    982701 4663    21579001 4673    4977501 4679    4609751 4691    3701501 4703    14699501 4721    1161751 4723    4079001 4729    4621001 4733    2743501 4751    156581 4759    1615751 4783    1181501 4787    4178001 4789    2009501 4793    686501 4799    43451 4801    225276 4813    10352001 4817    736501 4831    27001 4861    2697001 4871    2956501 4877    5008001 4889    2415501 4903    4336501 4909    4736001 4919    1989001 4931    3954001 4933    4501 4937    169501 4943    21301 4951    429051 4957    13377101 4967    8613001 4969    1602251 4973    4653501 4987    3355501 4993    1422701 4999    32055 5003    288501 5009    727001 5011    5860001 5021    1513501 5023    6884501 5039    1322751 5051    1324701 5059    31215501 5077    6086501 5081    3602001 5087    3476001 5099    9657701 5101    8078301 5107    700601 5113    3579501 5119    101187251 5147    1361501 5153    1895501 5167    130001 5171    7328501 5179    4371501 5189    29765501 5197    11824501 5209    2151501 5227    400001 5231    23377001 5233    1871501 5237    1810501 5261    6156501 5273    94787501 5279    4715751 5281    3084126 5297    367001 5303    2716501 5309    129387501 5323    14239501 5333    5894501 5347    3775501 5351    723301 5381    18977001 5387    48843501 5393    1344501 5399    955551 5407    685301 5413    3913001 5417    11714001 5419    6172001 5431    1216751 5437    1859001 5441    1820876 5443    43993 5449    413501 5471    2773001 5477    368501 5479    19251 5483    3973501 5501    282581 5503    7594501 5507    896101 5519    9491001 5521    2028501 5527    8376501 5531    8309501 5557    72681 5563    4696501 5569    3770501 5573    12252501 5581    6754001 5591    1629751 5623    9963501 5639    1527751 5641    2276751 5647    230501 5651    81401 5653    36962501 5657    612101 5659    424501 5669    3910501 5683    4198001 5689    2400251 5693    521421 5701    2896301 5711    487251 5717    92480501 5737    2181501 5741    4135501 5743    1032301 5749    545021 5779    7868001 5783    5294001 5791    21020751 5801    139601 5807    16773 5813    619501 5821    2707501 5827    1937001 5839    3371001 5843    552301 5849    85151 5851    28723401 5857    1819101 5861    3854501 5867    2449001 5869    51665501 5879    1885751 5881    4483251 5897    133337501 5903    1951001 5923    4421001 5927    1202501 5939    3718501 5953    6198001 5981    5855501 5987    5789501 6007    10123901 6011    3698001 6029    53001 6037    38015001 6043    1493701 6047    7962501 6053    10127501 6067    7114001 6073    5394501 6079    1715751 6089    1925001 6091    2188501 6101    839101 6113    15185001 6121    12328251 6131    4726001 6133    5054501 6143    392101 6151    80151 6163    15883001 6173    5170501 6197    4799001 6199    215151 6203    103022501 6211    4590501 6217    9073501 6221    3526501 6229    23359501 6247    13294001 6257    866301 6263    4855501 6269    7860501 6271    4710501 6277    57489501 6287    4855001 6299    1088701 6301    128701 6311    3860251 6317    2229501 6323    33735501 6329    3972001 6337    10946501 6343    1238501 6353    6290001 6359    1955251 6361    600501 6367    2747501 6373    16044501 6379    624501 6389    2283501 6397    7949501 6421    4120001 6427    3614501 6449    855951 6451    2075301 6469    7596001 6473    12092001 6481    2040626 6491    6068501 6521    1920751 6529    119585751 6547    4109501 6551    330951 6553    1429001 6563    47561501 6569    6265751 6571    5180001 6577    6285501 6581    4926501 6599    65151 6607    232201 6619    262501 6637    36938001 6653    7732501 6659    12257501 6661    2136501 6673    4409501 6679    1872251 6689    1555251 6691    28901501 6701    2632901 6703    5066501 6709    4732501 6719    3113501 6733    963501 6737    5866501 6761    4709251 6763    8831501 6779    2985501 6781    1103001 6791    1343001 6793    2223501 6803    3185001 6823    1380501 6827    5815501 6829    1184501 6833    6908501 6841    5176001 6857    800601 6863    4482501 6869    1056501 6871    1554001 6883    13504001 6899    978701 6907    16073601 6911    1265501 6917    2104001 6947    8589001 6949    2211401 6959    2434001 6961    2550126 6967    58480001 6971    61001 6977    8672501 6983    2867748501 6991    4735751 6997    6598501 7001    26551 7013    3972501 7019    7735001 7027    106501 7039    1903751 7043    7156901 7057    127693 7069    5450001 7079    1904751 7103    507001 7109    2971501 7121    971376 7127    1013501 7129    4621751 7151    509301 7159    4751501 7177    3207501 7187    11995001 7193    63821 7207    387001 7211    222001 7213    22090501 7219    9005501 7229    9869001 7237    17935001 7243    1177701 7247    7753001 7253    7354001 7283    8404501 7297    2206501 7307    73441 7309    9680501 7321    559251 7331    14480501 7333    2730001 7349    1287201 7351    393451 7369    5124751 7393    38108401 7411    4343001 7417    4494501 7433    1611501 7451    2495301 7457    1266701 7459    25035001 7477    9687501 7481    86751 7487    10379001 7489    5371251 7499    9 7507    903701 7517    243433001 7523    89501 7529    6593001 7537    3637001 7541    11990001 7547    8557501 7549    227901 7559    4193001 7561    14167751 7573    28394501 7577    6451001 7583    5492501 7589    19181501 7591    2652251 7603    77517501 7607    772201 7621    12038501 7639    2670501 7643    5685601 7649    596451 7669    9245501 7673    4755501 7681    2759626 7687    6848501 7691    12915501 7699    1652701 7703    8224001 7717    11218501 7723    2785501 7727    9805501 7741    1705001 7753    15761501 7757    829501 7759    1521251 7789    3498001 7793    1911801 7817    1072001 7823    6475501 7829    10813501 7841    1555376 7853    18035001 7867    8284001 7873    6880501 7877    8208501 7879    2296751 7883    3003501 7901    1268801 7907    48812501 7919    5168251 7927    3945501 7933    1367001 7937    69428501 7949    10342501 7951    7089451 7963    9274501 7993    999701 8009    1690751 8011    9477501 8017    841501 8039    5077251 8053    3120501 8059    13099501 8069    6431501 8081    4273751 8087    6920501 8089    3470751 8093    7038501 8101    1668301 8111    3309751 8117    6488501 8123    7184001 8147    40942501 8161    6776501 8167    3373001 8171    10214001 8179    1441001 8191    4175251 8209    8556251 8219    7797501 8221    96540501 8231    350751 8233    4818001 8237    2334001 8243    1495901 8263    9767501 8269    58501 8273    1418501 8287    2179501 8291    9645501 8293    2060801 8297    14402501 8311    16985001 8317    8138501 8329    6871751 8353    10284501 8363    1240001 8369    2849751 8377    8241501 8387    12825501 8389    6739001 8419    7909501 8423    8456501 8429    692019001 8431    1652215251 8443    96541 8447    7517501 8461    10159001 8467    159001 8501    507941 8513    2202501 8521    25729501 8527    15841501 8537    53603001 8539    3949501 8543    130550901 8563    57003501 8573    8699501 8581    8660501 8597    1692001 8599    5374051 8609    4297751 8623    114102501 8627    94720501 8629    12623001 8641    2434376 8647    16422501 8663    2023001 8669    7968501 8677    1511011501 8681    8286001 8689    4080751 8693    5541 8699    4158901 8707    6291101 8713    27052001 8719    1519251 8731    12221001 8737    10309501 8741    10962001 8747    6445501 8753    52807501 8761    3525501 8779    459501 8783    200822001 8803    4680501 8807    252321 8819    18451501 8821    1781501 8831    151751 8837    3172001 8839    75943751 8849    1185201 8861    17971501 8863    25090001 8867    519501 8887    8228501 8893    1343901 8923    2088501 8929    5809501 8933    4126001 8941    10866501 8951    2178401 8963    7397501 8969    2583251 8971    1517501 8999    504501 9001    401911 9007    762201 9011    57074501 9013    1343501 9029    16831001 9041    3471626 9043    1825101 9049    918101 9059    20103501 9067    8369001 9091    10671001 9103    11011001 9109    9301001 9127    12903501 9133    10618501 9137    19366001 9151    1171901 9157    3189001 9161    9892001 9173    25299501 9181    9912501 9187    6300501 9199    759501 9203    3443001 9209    1270751 9221    227501 9227    4610001 9239    4750251 9241    1738251 9257    906301 9277    6206501 9281    1157376 9283    5695501 9293    1787901 9311    1769501 9319    4845501 9323    14681001 9337    17679501 9341    2323501 9343    2395401 9349    2021801 9371    4153001 9377    5429001 9391    12429751 9397    19446501 9403    144501 9413    1908501 9419    9798001 9421    11731501 9431    20770251 9433    1208001 9437    10455001 9439    8157251 9461    683001 9463    17441001 9467    11545501 9473    17592501 9479    539001 9491    4510001 9497    120410001 9511    1010251 9521    9036501 9533    6474501 9539    9916501 9547    29960001 9551    491351 9587    14123501 9601    974976 9613    15401501 9619    9632501 9623    7338501 9629    7356501 9631    5937001 9643    1796701 9649    4498801 9661    158501 9677    27001 9679    908501 9689    7863251 9697    9998501 9719    1709751 9721    2778001 9733    9346501 9739    713501 9743    2785901 9749    227901 9767    11821001 9769    35469251 9781    8733001 9787    546501 9791    15386001 9803    10427501 9811    25742501 9817    10703001 9829    11542501 9833    147133001 9839    1978001 9851    1542101 9857    3766601 9859    31603501 9871    2213751 9883    10692001 9887    7159001 9901    2307601 9907    757301 9923    125334501 9929    1764751 9931    3063501 9941    16735501 9949    3696801 9967    75114501 9973    21015501 *** Fred wrote, Dec 10, 18: Q1:   Here are the minimum solutions.  I determined the length of the cycle and plugged that into the code from pp934.  Note: The third number is each tuple below is the cycle length.     (233,227301,100) (263,926501,100) (353,108301,100) (367,109301,100) (373,193701,100) (397,46301,100) (409,41201,50) (421,78701,50) (431,62651,50) (433,57801,100) (457,1766101,20) (461,119701,50) (463,56801,100) (467,174201,100) (479,53651,50) (491,33751,50) (503,91201,100) (509,104351,50) (521,282076,25) (523,59401,100) (541,438501,50)   Q2 - Q4:    We know what can be solved due to Euler's Theorem ( https://brilliant.org/wiki/eulers-theorem/)  Note: all of the solutions above have a cycle which is a divisor of 400 (the totient of 1000). By Euler's theorem any prime number p (that is relatively prime to 10) would have a cycle that is a divisor of of the totient of t where t is the minimum power of 10 > p (For instance, t would 1000 for p = 541).  The cycle we want is the minimum such divisor that holds.   So, all prime numbers except for 2 and 5 have this property due to Euler's theorem.   But, we know though from puzzle 933 that 2 and 5 do have cyclical behavior (for 10).  So, all primes have a "trailing digit" solution.     Similarly, any number n that is relatively prime to 10 would have such a cycle.     For instance, the cycle for 27 (and 100) is 20   and 27^21 = 1144561273430837494885949696427   Examples  of "cycle-free" numbers n (that are not relatively prime to a power of 10) such there is no solution n^x where x > 1 are 14, 15 and 22.     So, we can't say there are always "trailing cycles" for all numbers that are not relatively prime to a power of 10. *** Paolo wrote, dec 11, 18: Please find here below the updated list of the least exponents. As you can see, four of them are very hard to detect. I optimized as much as possible my Maple code but they are beyond my machine limits. In particular I can add that exponent for 263 is > 215701, for 457 is > 194261, for 521 is > 190776 and for 541 is > 190801.   51   233   138801 52   239   37451 53   241   5951 54   251   609 55   257   8961 56   263    ? 57   269   6051 58   271   14651 59   277   98801 60   281   16426 61   283   51501 62   293   1661 63   307   1245 64   311   49451 65   313   39501 66   317   55701 67   331   23251 68   337   30801 69   347   51601 70   349   8991 71   353   108301 72   359   2651 73   367   109301 74   373   193701 75   379   24251 76   383   32201 77   389   29751 78   397   46301 79   401   8906 80   409   41201 81   419   13551 82   421   78701 83   431   62651 84   433   57801 85   439   10551 86   443   7453 87   449   6011 88   457    ? 89   461   119701 90   463   56801 91   467   174201 92   479   53651 93   487   25901 94   491   33751 95   499   1475 96   503   91201 97   509   104351 98   521    ? 99   523   59401 100   541   ? Q3. Is this conjecture valid for any positive integer, not necessarily prime numbers?     Not at all. Apart from any power of 10^k that will never end in 10^k, see for instance A075823. It lists the two digits numbers that will never end in themselves.   With 3 digits we have 102, 105, 106, 108, 110, 114, ... I checked all three digits numbers that will never end in themselves whatever is the exponent k>1. They are 446 and none of them is a prime:   100, 102, 105, 106, 108, 110, 114, 115, 116, 118, 120, 122, 124, 126, 130, 132, 134, 135, 138, 140, 142, 145, 146, 148, 150, 154, 155, 156, 158, 160, 162, 164, 165, 166, 170, 172, 174, 175, 178, 180, 182, 185, 186, 188, 190, 194, 195, 196, 198, 200, 202, 204, 205, 206, 210, 212, 214, 215, 218, 220, 222, 225, 226, 228, 230, 234, 235, 236, 238, 240, 242, 244, 245, 246, 250, 252, 254, 255, 258, 260, 262, 265, 266, 268, 270, 274, 275, 276, 278, 280, 282, 284, 285, 286, 290, 292, 294, 295, 298, 300, 302, 305, 306, 308, 310, 314, 315, 316, 318, 320, 322, 324, 325, 326, 330, 332, 334, 335, 338, 340, 342, 345, 346, 348, 350, 354, 355, 356, 358, 360, 362, 364, 365, 366, 370, 372, 374, 378, 380, 382, 385, 386, 388, 390, 394, 395, 396, 398, 400, 402, 404, 405, 406, 410, 412, 414, 415, 418, 420, 422, 425, 426, 428, 430, 434, 435, 436, 438, 440, 442, 444, 445, 446, 450, 452, 454, 455, 458, 460, 462, 465, 466, 468, 470, 474, 475, 476, 478, 480, 482, 484, 485, 486, 490, 492, 494, 495, 498, 500, 502, 505, 506, 508, 510, 514, 515, 516, 518, 520, 522, 524, 525, 526, 530, 532, 534, 535, 538, 540, 542, 545, 546, 548, 550, 554, 555, 556, 558, 560, 562, 564, 565, 566, 570, 572, 574, 575, 578, 580, 582, 585, 586, 588, 590, 594, 595, 596, 598, 600, 602, 604, 605, 606, 610, 612, 614, 615, 618, 620, 622, 626, 628, 630, 634, 635, 636, 638, 640, 642, 644, 645, 646, 650, 652, 654, 655, 658, 660, 662, 665, 666, 668, 670, 674, 675, 676, 678, 680, 682, 684, 685, 686, 690, 692, 694, 695, 698, 700, 702, 705, 706, 708, 710, 714, 715, 716, 718, 720, 722, 724, 725, 726, 730, 732, 734, 735, 738, 740, 742, 745, 746, 748, 750, 754, 755, 756, 758, 760, 762, 764, 765, 766, 770, 772, 774, 775, 778, 780, 782, 785, 786, 788, 790, 794, 795, 796, 798, 800, 802, 804, 805, 806, 810, 812, 814, 815, 818, 820, 822, 825, 826, 828, 830, 834, 835, 836, 838, 840, 842, 844, 845, 846, 850, 852, 854, 855, 858, 860, 862, 865, 866, 868, 870, 874, 876, 878, 880, 882, 884, 885, 886, 890, 892, 894, 895, 898, 900, 902, 905, 906, 908, 910, 914, 915, 916, 918, 920, 922, 924, 925, 926, 930, 932, 934, 935, 938, 940, 942, 945, 946, 948, 950, 954, 955, 956, 958, 960, 962, 964, 965, 966, 970, 972, 974, 975, 978, 980, 982, 985, 986, 988, 990, 994, 995, 996, 998.   I'll go on with 4 digits. Checked. They are 4943 (I do not write them down here ...). Again no prime. It appears they are even numbers or odd ones ending in 5. Of course this not imply the correctness of the conjecture for primes...   This is the Maple code:   with(numtheory): P:=proc(q) local a,b,c,d,k,n; c:=[]; for n from 1 to q do a:=[n]; d:=ilog10(n)+1;  for k from 2 to q do b:=n^k mod 10^d;  if numboccur(b,a)=0 then a:=[op(a),b]; else break; fi; od;  if b<>n then c:=[op(c),n]; fi; od; print(c); nops(c); end: P(10^4); *** Robert wrote, dec 12, 18: Yes, such k does always exist. Let p be an integer > 2 coprime to 10 (thus not just primes), and m its length in base 10.  Let r be the multiplicative order of p mod 10^m.  Then p^k ends in p if and only if k-1 is a multiple of r.  p^(j*r+1) starts with p if and only if for some integer s, s + log_10(p)) <= (j*r+1)*log_10(p) < s + frac(log_10(p+1)).  This is true for some j because r*log_10(p) is irrational and the fractional parts of the multiples of an irrational number are dense in [0,1]. BTW, here are some of the missing data in your table: 51 138801 56 768301 71 108301 *** Maximilam wrote on Dec 13, 2018: Concerning  https://www.primepuzzles.net/conjectures/conj_081.htm this little PARI script :   {A320775(n, d=logint(n=prime(n), 10)+1, K=if(n>5||n==3, znorder(Mod(n, 10^d)), n+18), f(x)=x\10^(logint(x, 10)+1-d))=forstep(k=1+K,oo,K, n==f(n^k)&&return(k))}   finds more or less quickly all the ??? in the table, except for n=88 where it took longer to find the very large exponent.   50    229    12151 51    233   ??? = 138801 52    239    37451 53    241    5951 54    251    609 55    257    8961 56    263   ??? 57    269    6051 58    271    14651 59    277    98801 60    281    16426 61    283    51501 62    293    1661 63    307    1245 64    311    49451 65    313    39501 66    317    55701 67    331    23251 68    337    30801 69    347    51601 70    349    8991 71    353   ??? = 108301 72    359    2651 73    367   ??? = 109301 74    373   ??? = 193701 75    379    24251 76    383    32201 77    389    29751 78    397    ??? = 46301 79    401    8906 80    409    ??? = 41201 81    419    13551 82    421    ??? = 78701 83    431    ??? = 62651 84    433    ??? = 57801 85    439    10551 86    443    7453 87    449    6011 88    457    ??? = 1766101 89    461    ??? = 119701 90    463    ??? = 56801 91    467    ??? = 174201 92    479    ??? = 53651 93    487    25901 94    491    ??? = 33751 95    499    1475 96    503    ??? = 91201 97    509    ??? = 104351 98    521    ??? = 282076 99    523    ??? = 59401 100  541 ??? = 438501   (Comment : there seem to be only very few cases where a(n) != 1 (mod 10): a(3,4,13,18,86,98), and even = 01 (mod 100) seems to be the most frequent. A solution not ending in 1 can only happen for primes whose multiplicative order mod 10^length(p) is not a multiple of 10. But why is this so rare?)   List of the ??? only: 78 | 397 | 46301 80 | 409 | 41201 82 | 421 | 78701 83 | 431 | 62651 84 | 433 | 57801 88 | 457 |  1766101 89 | 461 | 119701 90 | 463 | 56801 91 | 467 | 174201 92 | 479 | 53651 94 | 491 | 33751 96 | 503 | 91201 97 | 509 | 104351 98 | 521 | 282076 99 | 523 | 59401 100 | 541 | 438501  (the last one took nearly 12 minutes) *** Emmanuel wrote on Dec 14, 2018: Q1. Here are the missing ones :   n           p(n)      First k 51    233   138801 56    263   768301 71    353   108301 73    367   109301 74    373   193701 78    397    46301 80    409    41201 82    421    78701 83    431    62651 84    433    57801 88    457    1766101 89    461    119701 90    463    56801 91    467    174201 92    479    53651 94    491    33751 96    503    91201 97    509    104351 98    521    282076  99    523    59401 100    541   438501   Q3. There are many numbers  m  for which no power (except the first) ends with  m. Here are the first ones : 10, 14, 15, 18, 20, 22, 26, 30, 34, 35, 38, 40, 42, 45, 46, 50, 54, 55, 58, 60, 62, 65, 66, 70, 74, 78, 80, 82, 85, 86, 90, 94, 95, 98,  100, 102, 105, 106, 108, 110, 114, 115, 116, 118, 120, 122, 124, 126, ...(the finite sequence  http://oeis.org/A075823  at the OEIS is only a part of this)   But, in my opinion, the conjecture is true for all  m  that are coprime to 10. For such numbers  m  there are infinitely many powers  k  such that  m^k  end in  m : those  k  are all congruent  1 modulo  r, where  r  is the multiplicative order of  m  modulo  10^u, where  u  is the number of digits of  m. For such  k  the first  u  digits of  m^k  behave like random.  Thus, the conjecture is somewhat equivalent to Murphy's law (everything that can happen will happen sometimes). *** Simon Cavegn wrote on Dec 18, 2018: Fast algorithm in C# for Conjecture 81:   private void TestStartsEnds(ulong p) {     int numberOfDigits = p.ToString().Length;     uint lastMod = (uint)Math.Pow(10, numberOfDigits);     uint firstDiv = (uint)Math.Pow(10, numberOfDigits - 1);     ulong last = p;     double first = p;     string pStr = p.ToString();     string uintFormat = new string('0', numberOfDigits);     for (ulong k = 2; ; k++)     {         last = last * p % lastMod;         first = first * p / firstDiv;         if (first >= lastMod) first = first / 10;         if (string.Equals(pStr, ((uint)first).ToString(uintFormat)) && string.Equals(pStr, last.ToString(uintFormat)))         {             Console.WriteLine("{0}^{1}", p, k);         }     } } ***

Records   |  Conjectures  |  Problems  |  Puzzles

Home | Melancholia | Problems & Puzzles | References | News | Personal Page | Puzzlers | Search | Bulletin Board | Chat | Random Link Copyright © 1999-2012 primepuzzles.net. All rights reserved.