https://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_1173.htm

Formula used investigate and find numbers mentioned below:  F(p)=(p^2+1)/2 to check if p is correct p=sqrt(2*(n^2)-1) - (n = result of F(p) equation)

p=1, (1^2+1)/2 = 1 = 1^2 (jk :D)

p=7, (7^2+1)/2 = 25 = 5^2

p=41, (41^2+1)/2 = 841 = 29^2

p=239, (239^2+1)/2 = 28561 = 13^4

p=9369319 = (9369319^2+1)/2 = 43892069261881 = 37^2 * 179057^2

p=63018038201 = (63018038201^2+1)/2 = 1985636569351347658201 = 44560482149^2

p=489133282872437279 = (489133282872437279^2+1)/2 = 119625684206783871996993080894461921 = 3761^2 * 91962100830401^2

p=19175002942688032928599 = (19175002942688032928599^2+1)/2 = 183840368926047361112315395593676258316051401 = 13558774610046711780701^2

p=123426017006182806728593424683999798008235734137469123231828679 = (123426017006182806728593424683999798008235734137469123231828679^2+1)/2 = 7616990837005263708410199970657148760082041163162495367483045967299990423693775194206356748206283254879235715250785203442521 = 820541^2 (ECM, curve 1) * 412124309^2 (ECM, curve 1) * 168867731761219532933^2 (SIQS) * 1528327854129402847802890657^2 (Division)

p=118119373866262081485223899617886417593271902402645222441921910431040354300019446804767966058309121 = (118119373866262081485223899617886417593271902402645222441921910431040354300019446804767966058309121^2+1)/2 = 6976093241278898793914552697036028882979955436494734365071096446406399662426348595210380091080839582340861460517653553481740260456140958304086239590187330894155816455279775980856708117862795896321 = 1640689^2 (ECM, curve 1) * 623700659351936833^2 (ECM, curve 53) * 81621330294770651861320888171562587614620304100785844883920376945100294097^2 (ECM, curve 53)

p=70393657629419512300176098237919643553997207020010109405976727793670773944409421814790772590069113145391735749901577009096149305609025491601824219052328961940201 = (70393657629419512300176098237919643553997207020010109405976727793670773944409421814790772590069113145391735749901577009096149305609025491601824219052328961940201^2+1)/2 = 2477633517223965956050338531054185093930627287566043737847149124261894055909932938710328964465045117895198705516619830550111238942567423305140604894483437029734548669349415291101042442001398020871731970273790418605504345482069492893509277211721834849342937929396452040141273945863173768429043815802351656888502403149960201 = 1081818484868497^2 (ECM, curve 13) * 189222836424246529^2 (ECM, curve 34) * 173241429245578164617^2 (ECM, curve 99) * 1403585359808090345497967122578396075750569180352430137427281089083490283804221301594329934327712251251730181^2 (ECM, curve 99)

p=22897452455280905078828336005115624924728985344535482796969910022973471518906810893956280156935252289592971578289280120476195506187014662125158067251946320052235022850362774959892210008350185437655667806336169319238311926337233215596584241882906143162830208807718045813239461244273884883285379815809228691897422593450549445039659091869534560354914296851424561, (22897452455280905078828336005115624924728985344535482796969910022973471518906810893956280156935252289592971578289280120476195506187014662125158067251946320052235022850362774959892210008350185437655667806336169319238311926337233215596584241882906143162830208807718045813239461244273884883285379815809228691897422593450549445039659091869534560354914296851424561^2+1)/2 = 262146664470924774199379304615555435324065178974078207461891647475118874733234701032605283105727174950710418601480586474504836070047631064621507274570243991872374259665865108096135648504488650807624923766097278845385418480744090477345523682295839054806283589852056418143713315523165081114355431785674227391020339902817914819517843138034448312321474970125829969181684231417187440361175282161720708493135632667311114655450659105939980792855677936884771341704486745555081038081346025862795850198534279319047886610064759107594052965792832953308227362428016367645816921434548816954293412937626820764715519313044783874735335034873265031116790978749095751531352916640546880286970639757352157728971077098717026885947537021361 = 27633725151978798737^2 (ECM, curve 28) * 585912460733376277153273240230685465584084962453361300729336304584515688604356957536472885358368509321404259368958968020072786203081561217328921416428627797563992100225122602947087882190031177098667258630161430369442102974813177341871200497927389380778451167321652053642903032168120490257064621678775299414089567399392502860165033165708713^2 (ECM, curve 28)

p=154008261809899866902428582268706397712000125069475512249994627967678470073942702785888964125483410774724794761888987584548071301490705963992756693529555955589026468959156441554999796018046544222078521668105411968897815508782369617320598616176357046631308873299365244174183560089669343957767158708822118475584411679552202834200395057475221548485001826312210106279, (154008261809899866902428582268706397712000125069475512249994627967678470073942702785888964125483410774724794761888987584548071301490705963992756693529555955589026468959156441554999796018046544222078521668105411968897815508782369617320598616176357046631308873299365244174183560089669343957767158708822118475584411679552202834200395057475221548485001826312210106279^2+1)/2 = 11859272352853330913743379836184673292383478641777731207127209310145364102897612564055249022182876949745688180788551752161174031852467364634982173069293403158011608437869416991005562033018741467451072728153292276885697246034709438018230200070133463589664353704478145127828476003800931661031290078649881818514690356399162282859685238031249508768436194411338132683911753548478351717792511990975422459616832770647044911268845497736407893969156733173051276676610750021858299644714809797292359360762827065961064185569110012441545883695070224319415528119673859221088816488537557293688487860729141951391151524442167216740289429845272515351969460013990400305138511000399579830254986632885909530285266673240509581706640685372237612921 = 545473^2 (ECM, curve 1) * 817624694630281^2 (ECM, curve 34) * 8166092831708763852149^2 (ECM, curve 75) * 29901119611494575671751557146006125365218638180529240982681839381284141842342780118547903352401475952509209512543019704195073472160475861223723208029618713670710655707921883782810248107729565955362746348411442035953424747825526483540848260833500307925508418065998377350657406263342397064298957269909631269913794135964153^2 (Composite (ECM factor tried up to 357 curves))

p=15242921525153596438686041106500155640990142445409713520961716320098719306625673583648585064082557037632574007016542862464585413855325419987306924172938043329571057741136881712317512118795220089192610068501585848205879967337481715078294195565196697524212339915799632058798717580540163286543926343568605432135467677218942698966513855569775614020724228697911553697161980391400575967277962663859078316449856743180317645899999855793529475331403866733038463348701179514835110098473935045744253645698052307463456458313291050444620470613419864675747501626402069994160092799834761, (15242921525153596438686041106500155640990142445409713520961716320098719306625673583648585064082557037632574007016542862464585413855325419987306924172938043329571057741136881712317512118795220089192610068501585848205879967337481715078294195565196697524212339915799632058798717580540163286543926343568605432135467677218942698966513855569775614020724228697911553697161980391400575967277962663859078316449856743180317645899999855793529475331403866733038463348701179514835110098473935045744253645698052307463456458313291050444620470613419864675747501626402069994160092799834761^2+1)/2 = 116173328310995421273922594632294557228414143346757531292720519934950271221060167486973438394753605940068230650821878769489255817954090367763673456846823522876245856821132548671587840809207094601920108267048279655319607811217838173415591966885099240322675808454344810971323980120609973154324124044107709943732872874484028734379057153052170924177861240199165097784341262860800068438273696694063416020162019862997765383887518713921628903248843284351155334820828848459712271034280036816433238870331280653436812213212492629762806888920463936981711884465464002813790939977460770684394864846850700684595902149879244851267031051560462406208627630930746679402385123314607787504965994993452443969418470716137864400007344165533252450601146520742349907476954986814339380648611262233202054230444340264528053566609682283929010574801089390050360862460843008762269601248520535035253635923895254253220025615090555431261305795211191041228686225162746851564737081895980524475461718786653313290467557292499842143588781985975831761674861177289230245582710187582826841407316268595535623313099203795247378393496393630232264993256999907903206408540900425834451963561 = 83609^2 * 9256601^2 (ECM, curve 1) * 4672274821^2 (ECM, curve 2) * 777833463863996196089^2 (ECM, curve 26) * 812682591145803757644049^2 (ECM, curve 1) * 4715336414594537116568957984816603747105111418556998888355098149127770762692529444812983707909889208296845920561547309422989669361432295884887281149719906969090600744518542938539798065880897887103614448844894421619749516266856182609258050958476505424055072044680704799207367133277699922389107771129114617296797517756582925941768195047816887615853470703397359048037212199236822286949555412576892450114610477788129664281360177326282122059824251261172968572117464118998173613192071989051807545911723891000561^2 (Division - Composite(ECM factor check up to B1=5M)

p=22675027978994055215633799328200162852362758888752053390597478057987049051888140420940046041671020291119834961880167612082047649328282488777489067328530053787641783886718914325263291657426578478936583835410087176164008901933257681379449915878020673271220630939650165884153116657857669627645426409776402675230240997507407029005803991426315531819875420221211083174351573619936656402979851532403505562150036278053716479879766512325085072699552153501094265913803393735803941542661419485184738239260096225289275917433043569257327642289190866666351249724026539584419078827001751922001214476194997022245989536879598654437524729737306177741930889373223532263308052774672760255302595944667374444996689881229923030796325067791266157267481, (22675027978994055215633799328200162852362758888752053390597478057987049051888140420940046041671020291119834961880167612082047649328282488777489067328530053787641783886718914325263291657426578478936583835410087176164008901933257681379449915878020673271220630939650165884153116657857669627645426409776402675230240997507407029005803991426315531819875420221211083174351573619936656402979851532403505562150036278053716479879766512325085072699552153501094265913803393735803941542661419485184738239260096225289275917433043569257327642289190866666351249724026539584419078827001751922001214476194997022245989536879598654437524729737306177741930889373223532263308052774672760255302595944667374444996689881229923030796325067791266157267481^2+1)/2 = 257078446924081614068667295655240676701643560449174964555237272995629374646019618128547962875442699537336775108868509965329298829225487932704417148923386762765140021055685868118917806024200923060368625476955521295034142846782923698997680146606628251659144263178845629537139065838082038163482849217652718381749475283196182721073280235008852596527861911633763975383881754316708100116352002848340237138096315538590388414059291430479955884300774412164223179364002564936685320835035748066242122384568864492092322614187416330805048691978040997940802384400627231071044659282873023317174870241154128246319836542526242869567517680275688688786178280606727806910224869348003371556151839305152037094680572234975455563156483694148561344961991771826097186299480488286649497542001534334149847255320791366581388187946028614851443430814767442300983276882109311321475185922783406211116807765069813586470785780570942070823906654522310969483604089962706411313062314883470400287177839989517052064966860697744425857916048805906344751505717420754836399160161409110581654397901794714542587023101466419246742796622918760000962997706203143516333889493673474409037634048493907067530647282729843220756807732210966248804339928864112091170141724068139725135613860550506696834066706416196558512386573258985288779847451327761420914865038627903350675810261973675015676578052940186155796345677791519809387002311622911148156671700300558943613550407052271539072501340410064649987476290042681 = 2577254284187536181509^2 (ECM, curve 1) * 59818219349946187286735368697^2 (ECM, curve 72) * 104002093771424390653287436166242907432522898817344581158919481635040485019764497789143219635208209836982764391380908356994911083382082608926626242732157661327534625704028179264785844838902012874839729093555124329917192061260844261703982285605512834956428789034254966065382907003660828015367755552584457490787736721758860506729660307473962182912346751313305837473366278156156020615598706649231670169100947761068580980229820937692669684717617934384893983062935860008691737173301210216643681390542506007902090274777514799470509174265389027622373968187685613678970051948407157410362289770752867687383372220886898284423430324801721320127028700246892754698247678297134623915708569433^2 (Division) <-- Prime Certified by me @ http://factordb.com/index.php?id=1100000007028325950